微分和导数的区别

参考

知乎

微分和导数的区别

导数的古典定义

​ 微分为一个函数在自变量做无穷小变化时函数值的变化。给定x的变化dx，则对应到f(x)的变化为df，df就等于f导数乘dx。

​ 这里因为dx的定义问题，产生了麻烦，导致微积分的基础不牢固。

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​ 又譬如如上对dx的处理。在第五步处理中，dx被视作非0处理。在第六步处理中，却又被视作0处理。

• 古典微积分总结
  • 切线：通过无穷小量定义了切线
  • 导数：导数就是切线的斜率
  • 微分：微分就是微小的增量，即无穷小量

基于极限重建微积分

​ 即完全摒弃无穷小量，基于极限的概念，重新建立微积分

• 1 极限
  • 使用 epsilon & delta 来描述极限：
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    • 极限的定义：无无穷小量的存在
• 2 导数的极限定义
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  • 极限定义的导数，脱离了微商的概念，此时导数更应该被看作为一个整体。
  • 通过导数，我们仍可以定义什么是微分。原先是先定义了微分再有导数，现在是先定义了导数再有的微分。
    
• 3.对于极限微积分的总结
  • 导数：被定义为一个极限，其意义就是变化率
  • 微分：是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值
  • 切线：有了导数之后就可以被确定下来

古典微积分和极限微积分的对比

• 古典微积分先定义微分，再定义导数，极限微积分先定义导数再定义微分。
• 古典微积分的导数基于无穷小量定义，极限微积分的导数是基于极限定义的。
  • 意义在于，无穷小量此时是一个实体。可以比较，可以运算。
    • 例如:无穷小量之间的比较，实际为实体关于无穷小量收敛速度的比较。
• 古典微积分的微分是无穷小量，极限微积分的微分是一个线性函数。
• 古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和。
• 古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的。
• 古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象。

总结

• 导数为函数在某点上的变化率，是一个数。
  • 为函数在某点上的切线的斜率
• 微分为函数在某点上的线性表达，是一个函数。
  • 看似近似，是因为微分本身使用了导数来定义。